Pregunta 122 · Examen MIR 2019

Qué mide el error típico de la media

Cuando se estudia una muestra, la media obtenida es solo una de las muchas que podrían haberse obtenido: otra muestra del mismo tamaño, extraída de la misma población, daría un valor algo distinto. Si se repitiera el muestreo indefinidamente, esas medias formarían su propia distribución, la distribución muestral de la media. El error típico (o error estándar) de la media es la desviación típica de esa distribución: mide cuánto varía la media de una muestra a otra y, por tanto, con qué precisión estima la media poblacional.

No describe a los individuos, sino a la estimación. Esa es la diferencia esencial con la desviación típica, que mide la dispersión de los valores individuales alrededor de la media.

Por qué depende de la raíz cuadrada de n

Si las observaciones son independientes y proceden de una población con varianza σ², la varianza de la media de n observaciones es σ²/n: al promediar, las desviaciones de signo contrario tienden a compensarse. El error típico es la raíz cuadrada de esa varianza:

ETM = σ / √n

En la práctica σ no se conoce y se sustituye por la desviación típica de la muestra (s), de modo que el error típico estimado es s/√n. La consecuencia es que la precisión no crece en proporción al tamaño muestral, sino a su raíz cuadrada: cada ganancia de precisión cuesta un aumento de muestra mucho mayor.

Tamaño muestral	√n	Error típico (σ = 20)
25	5	4
100 (× 4)	10	2 (la mitad)
225 (× 9)	15	1,33 (la tercera parte)
400 (× 16)	20	1 (la cuarta parte)

La regla general es que, para dividir el error típico por un factor k, hay que multiplicar el tamaño de la muestra por k². Duplicar la muestra solo reduce el error típico en un factor √2, es decir, alrededor de un 29 %.

Error típico frente a desviación típica

Son dos magnitudes que se confunden con frecuencia en artículos y tablas, y responden a preguntas distintas:

• La desviación típica describe la variabilidad del fenómeno en la población. Aumentar la muestra no la reduce: solo la estima mejor. Es la que se usa para describir los datos (media ± desviación típica).
• El error típico describe la incertidumbre de la estimación. Disminuye a medida que crece la muestra y tiende a cero cuando n es muy grande. Es la que se usa para la inferencia: intervalos de confianza y contrastes de hipótesis.

Presentar los datos como media ± error típico da una falsa impresión de poca variabilidad, porque el error típico siempre es menor que la desviación típica en cuanto n es mayor que 1.

Su papel en el intervalo de confianza y en el tamaño muestral

Por el teorema central del límite, con muestras suficientemente grandes la distribución de la media es aproximadamente normal aunque la variable original no lo sea. Por eso el intervalo de confianza del 95 % para la media se construye como la media muestral ± 1,96 errores típicos (con muestras pequeñas se usa el valor correspondiente de la t de Student). La amplitud del intervalo es, por tanto, proporcional al error típico.

De aquí se derivan dos consecuencias prácticas:

• Para reducir a la mitad la amplitud de un intervalo de confianza, manteniendo el nivel de confianza, hay que cuadruplicar la muestra.
• Aumentar el nivel de confianza (del 95 % al 99 %) ensancha el intervalo sin cambiar el error típico, porque lo que cambia es el multiplicador.

La misma ley de la raíz cuadrada rige para otros estimadores: el error típico de una proporción es √[p(1 − p)/n], y también se reduce a la mitad al cuadruplicar n. Por eso el tamaño muestral que necesita un estudio es inversamente proporcional al cuadrado del margen de error que se acepta.

La respuesta a la pregunta 122 del MIR 2019

El error típico de la media es σ/√n. Si el número de observaciones se multiplica por 4, su raíz cuadrada se multiplica por 2 y, como está en el denominador, el error típico se divide por 2: se reduce a la mitad. La respuesta correcta es la opción 2.